Mi az a LEMA PROJEKT?

A LEMA szó a következőt rövidíti: “Learning and Educating through Modelling and Applications”. A projekt szó pedig azt hivatott jelezni, hogy itt nem egy egyedi kezdeményezésről van szó. Az Európai Unió több országának matematika tanárai tették össze mindazt az ismeretet és tudást, aminek eredménye egy a matematikai modellezést bemutató és tanító tanár továbbképző tanfolyam.

Mint az kiderült a fenti rövid bevezetőből, a matematikai modellezés a magyar matematika oktatásban még szinte ismeretlen.

A modellezési feladat :
Mennyi időbe telik a képen látható épület kiürítése?

A kérdés fontos, s bárkiben felmerülhet. Mi köze a matematikához? Hogyan lehet ilyen kevés ismeret és információ alapján válaszolni? Van “helyes válasz” a kérdésre?

A tanár továbbképzés az imént említett kérdésekre, s még sok mindenre választ ad.

További információkat tudhat meg a modellezésről, ha letölti a Modellezésről szóló word dokumentumot. Az oldal folytatásaként kis izelítőt kaphat a modellezésről.

Modell, modellezési feladatok

 A modell szó többféle értelemben használatos. A matematikában „általánossá vált a modellezés megnevezés alkalmazása arra a teljes folyamatra, amely magában foglalja a strukturálás, matematizálás, matematikai kidolgozás, és interpretálás/validálás (esetleges többszöri végrehajtását a végső, elfogadható eredmény érdekében)”. Blum, 2002

Az elkészült modell és a valóság egybevetése gyakran szükségessé teszi a modell módosítását, szélsőséges esetben esetleges teljes elvetését. A modell és a létrejöttéhez szükséges modellezési folyamat szoros kapcsolatban van egymással, és elmondható, hogy maga a folyamat éppolyan fontos (néha talán még fontosabb is), mint eredménye, a modell.

Matematikai modellnek általában a valóság egy leegyszerűsített „képét” nevezzük, mely csak bizonyos részleteket vesz figyelembe, és így lehetővé teszi az adott szituáció vizsgálatát. 

Modellek használhatók egyrészt szituációk leírására, pl. alganövekedés, szerencsejátékok. Ezeket leíró modelleknek nevezik. Másrészt modellek készíthetők bizonyos szándékok adott körülmények közötti megvalósítására pl. választási eljárások, értékelési eljárások készítéséhez. Ez utóbbiak a normatív modellek.

 A modellezési feladat megoldása során a hangsúly azon a folyamaton, eljáráso(ko)n van, amelyet a tanulónak kell megtalálnia és végrehajtania ahhoz, hogy egy matematikán kívüli probléma és valamely matematikai tartalom között megfelelő kapcsolatot teremtsen. Ilyen jellegű „fordítási eljárás” a matematikán belül is létezik, például amikor geometriai probléma kerül formalizálásra. Ebben az esetben matematikán belüli modellezésről beszélünk.

A modellezés folyamata

A modellezési folyamat leírására többféle elképzelés létezik. 
Szembetűnő különbség más modellezést leíró ábrákhoz képest, hogy a lépések bemutatásához folyamatábra készült. Ez az ábrázolásmód a huszadik század hatvanas-hetvenes éveinek “divatjára” is emlékeztet, hiszen akkoriban szakkönyvekben, tankönyvekben, eljárások lépéseinek bemutatására gyakran használtak folyamatábrákat.

A felirat szerint probléma megoldási folyamat leírására készült az ábra, ám a jobboldali lépések egyértelműen mutatják, hogy ebben az esetben “gyakorlati problémáról” van szó.

A fekete körök mellett megjelennek azok a modellezési folyamatot leíró fő lépések is, amelyeket gyakorlatilag valamilyen formában minden modell tartalmaz.

Burkhardt (1968)

Az előbbihez igen hasonló ez az ábra, amelyet az ismert nemzetközi felmérésnél vettek alapul.

PISA (2003)

Blum, Leiβ (2006)

Ebben a modellben fontos kiegészítés a korábbihoz képest, hogy a szituáció megértése, a szituációból készített modell külön lépésként jelenik meg (1-gyel jelölt lépés). A továbbiakban a modellezés folyamatában csak a szituációs modell vesz részt, vagyis az a „valóság”, ahogyan a tényleges szituációt megértettük, értelmeztük. Akárcsak az előzőekben, itt sincs jelezve „kilépés”, a hangsúly a folyamaton s nem a végeredményen van. 

A valóságtartalmú szituációk, problémák megoldásához gyakran van szükség modellezésre. Ekkor sort kerítünk
- először is azoknak a tényezőknek a meghatározására, amelyeket figyelembe veszünk a probléma megoldásához,
- ezen a rendszeren belül a szükséges (lehetséges) matematikai eljárás megadása következik,
- amit az ehhez kapcsolódó megoldás követ (kivitelezési fázis). 
- A záróakkord pedig az eredmény egybevetése a valóságos eredeti helyzettel (elfogadható-nem elfogadható), illetve az eredmény értékelése (validáció), azaz annak megadása, milyen körülmények, feltételek esetén érvényes. Ez utóbbit követheti szükség esetén a modell pontosítása, (akár többször is), ahogy erre a korábban említett Blum idézet is utal.

Példa modellezési feladatra: 

Aláírásgyűjtés

 2006 április 25-én az ellenzéki párt 4 000 000 aláírást nyújtott be a spanyol kormány egyik új rendelete ellen. 

Minden spanyol újság közölte az itt látható képeket a hatalmas ládákkal, mely az aláírt íveket tartalmazták, és a 10 teherautóval, amelyek a rengeteg papír szállításához volt szükség. 

Nem gondolod, hogy politikai szándék húzódott meg emögött? Valóban ennyi teherautó kellett a szállításhoz?